Développement Limité

25/02/2016 12:25

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Soit $f$ une fonction à valeurs réelles1 définie sur un intervalle $I$ , et $x_0 \in I$ . On dit que $f$ admet un développement limité d'ordre n2 (abrégé par DL_n) en $x_0$ , s'il existe $n+1$ réels $a_0, a_1, ..., a_n$ et une fonction $R : I \rightarrow \mathbb{R}$ tels que $\forall x \in I$ :

f(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 + ... + a_n(x - x_0)^n +R(x^n ) = \sum_{i = 0}^n a_i(x - x_0)^i + R(x^n )

avec

R(x )

qui tend vers 0 lorsque

x

tend vers

x_0

, et ce « plus rapidement » que le dernier terme de la somme, c'est-à-dire que :

\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{R(x )}{(x - x_0)^n} = 0.

Les fonctions $R$ vérifiant ceci sont notées $o((x - x_0)^n)$ (voir l'article Comparaison asymptotique, et plus précisément la famille des notations de Landau). On écrit donc :

f(x) = \sum_{i = 0}^n a_i(x - x_0)^i + o((x - x_0)^n).

Il est fréquent d'écrire un développement limité en posant $x = x_0 + h$ :

f(x_0 + h) = \sum_{i = 0}^n a_ih^i + o(h^n).

Conséquences immédiates

Operations sur les DL

{\rm e}^x={\rm e}\cdot\left(1 + (x - 1) + \frac{(x - 1)^2}2+ o((x - 1)^2)\right)

\frac1{1-x} = 1 + x +x^2 + o(x^2).

\begin{align} {\rm e}^{\frac1{1-x}}&={\rm e}\cdot\left(1 + (x + x^2)+ \frac{( x +x^2)^2}{2} + o(x^2)\right)\\ &={\rm e}\cdot\left(1 + x +\frac32x^2 + o(x^2)\right). \end{align}

Developpement limité et fonctions derivables

Si une fonction admet un DL_n au voisinage de

x_0

, alors ce développement est unique et

a_0 = f(x_0)

.

Inverse

Si u(x₀) = 0 et si u admet un DL_n en x₀, alors

\frac1{1 - u}

admet un DL_n. Ce développement limité se trouve en cherchant un DL_n de

\sum_{k=0}^n u^k

.

Quotient

On peut combiner le produit et l'inverse, ou faire une division suivant les puissances croissantes de la partie régulière du numérateur par celle du dénominateur.

Composition

si u admet un DL_n en x₀ et si v admet un DL_n en u(x₀), alors v ∘ u possède un DL_n en x₀qui s'obtient en cherchant un DL_n de Q_n ∘ P_n où P_n et Q_n sont les DL_n de u et v

Exemple : DL₂ en 0 de

{\rm e}^{\frac1{1-x}}

DL₂ en 1 de

e x

:

(ce DL se trouve en remarquant que

{\rm e}^x={\rm e}\cdot{\rm e}^{x-1}

et en utilisant le DL de

e h

en 0).

DL₂ en 0 de

\frac1{1-x}

:

DL₂ en 0 de

{\rm e}^{\frac1{1-x}}

:

Intégration (cf. le lemme dans la démonstration de la formule de Taylor-Young)

Si f admet un DL_n en x₀, alors toute primitive F de f admet un DL_{n + 1} en x₀ qui est

F(x) = F(x_0) + \sum_{i=0}^{n}\frac{a_i}{i+1}(x - x_0)^{i+1}+o((x-x_0)^{n+1}).

Dérivation

Il n'existe pas de théorème général sur l'existence d'un DL_n pour la dérivée d'une fonction admettant un DL_{n + 1} en x₀.

Par exemple, la fonction définie par

f(x) = x^3\sin\left(\frac1{x^2}\right)

pour tout

x

non nul et

f (0) = 0

admet un DL₂ en 0 (il s'agit de

0 + o (x 2)

), mais sa dérivée, non continue, n'admet pas de DL₁ .

Par contre, comme déjà dit, si F' admet un DL_n en x₀, alors la partie régulière de ce DL est la dérivée de la partie régulière du DL_{n + 1} de F en x₀.

La formule de Taylor-Young assure qu'une fonction f, dérivable n fois au point x₀, admet un DL_n en ce point :

$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ...+ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + o((x-x_0)^n)$

On le démontre par récurrence sur n, grâce au fait que si la dérivée de f admet un DL_{n – 1} enx₀, alors f admet un DL_n en x₀, et la partie régulière du DL_{n – 1} de f' est la dérivée de la partie régulière du DL_n de f.

En revanche, le fait qu'une fonction admette un DL_n en x₀ n'assure pas que la fonction soit nfois dérivable en x₀ (par exemple x ↦ x³sin(1/x) – prolongée par continuité en 0 – admet, en 0, un DL₂ mais pas de dérivée seconde). On peut juste déduire, de l'existence d'un DL₀ enx₀, la continuité en x₀, et, de l'existence d'un DL₁ en x₀, la dérivabilité en x₀.

soit en écriture abrégée

f(x) = \sum_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i + o((x-x_0)^n)

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